Sistem persamaan linear dua variabel by Bimbel jakarta Timur, yang di pelajari kelas 8 sering kita gunakan untuk materi lain baik dalam pelajaran matematika, juga pada pelajaran lain seperti fisika, ekonomi dan lainnya. Sistem persamaan linear dua variabel, tiga variabel digunakan untuk menentukan solusi suatu persamaan
Sistem persamaan linear adalah sekumpulanpersamaan linear (garis lurus) yang terdiri dari beberapa variabel yang dari sistem tersebutdapat ditentukan nilai dari variabel yang diberikan.
Apa sih variabel itu? Variabel atau peubah adalahlambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan pasti. Nahhhpada sistem persamaan ini kita dapat mengetahui nilai variabel yang diberikan.
Bagaimana caranya? Ada beberapa cara yang bisa digunakan untuk mencari nilai ataupenyelesaian sistem persamaan linear dua variabel.
1. Metode grafik
Cara inidilakukan dengan menggambar masing-masing persamaan yang diberikan pada diagramkartesius hingga ditemukan sebuah titik potong. Titik potong yang didapat ituadalah penyelesaian sistem persamaan tersebut.
Contoh :
Tentukanhimpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut :
a. x + y=6 dan 2x + y=8
b. 3x + 2y=12 dan x + 2y=8
Jawab :
a. Untuk menggambar grafik persamaan linear, kita harus mencari titik potong garis terhadap sumbu x dan sumbu y. Titik potong garis terhadap sumbu x didapat jika nilai y=0, sebaliknya titik potong terhadap sumbu y didapat jika nilai x=0. Setelah didapatkan dua titik potong tersebut maka dapat ditarik garis yang melewati kedua titik.
Garis x + y=6
Titik potong sumbu x ( y=0)
x + 0=6
x=6
titik potong (6,0)
Titik potong sumbu y (x=0)
0 + y=6
y=6
titik potong (0,6)
Tarik garis yang melewati kedua titik maka didapatkan garis seperti yg tergambar dengan garis warna biru pada diagram kartesius di bawah.
Garis 2x + y=8
Titik potong sumbu x ( y=0)
2x + 0=8
2x=8
x=4
titik potong (4,0)
Titik potong sumbu y (x=0)
2(0) + y=8
y=8
titik potong (0,8)
Tarik garis yang melewati kedua titik maka didapatkan garis seperti yg tergambar dengan garis warna merah pada diagram kartesius di bawah.
Kedua garis yang telah digambar berpotongan pada titik (2,4). Maka penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah (2,4) yang artinya nilai x=2 dan nilai y=4.
b. Garis 3x + 2y=12
Titik potong sumbu x ( y=0)
3x + 2(0)=12
3x=12
x=4
titik potong (4,0)
Titik potong sumbu y (x=0)
3(0) + 2y=12
2y=12
y=6
titik potong (0,6)
Pada gambar di bawah ditunjukkan dengan garis biru
Garis x + 2y=8
Titik potong sumbu x ( y=0)
x + 2(0)=8
x=8
titik potong (8,0)
Titik potong sumbu y (x=0)
0 + 2y=8
2y=8
y=4
titik potong (0,4)
Pada gambar dibawah ditunjukkan dengan garis merah
Kedua garis yang telah digambar berpotongan pada titik (2,3). Maka penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah (2,3) yang artinya nilai x=2 dan nilai y=3.
2. Metode Substitusi
Metode Substitusi adalah suatu metode mencari penyelesaian persamaan dengan cara mensubstitusi (mengganti) salah satu variabelnya dengan persamaan lain ataupun dengan nilai yang sudah diketahui.
contoh :
a. 3x + y=0 dan 2x – 3y=11
b. 4x + 3y=6 dan 2x – y=3
c. 3x+ 4y=24 dan 5x + 2y=26
Jawab :
a. Pilih salah satu persamaan yang akan kita substitusi ke persamaan lain. Lalu ubah salah satu variabelnya menjadi bentuk persamaan ekuivalen.
Kita pilih persamaan 3x + y=0
Ubah dengan memindahkan 3x ke ruas kanan sehingga bentuknya menjadi
y=- 3x
Substitusi nilai y ke persamaan yang lain
2x - 3y=11
2x - 3 (-3x)=11
2x + 9x=11
11x=11
x=1
Substitusi nilai x ke salah satu persamaan yang kita inginkan
Substitusi nilai x ke salah satu persamaan 5x + 2y=26 5(4) + 2y=26 20 + 2y=26 2y=26 - 20 2y=6 y=6/3=2 Penyelesaiannya adalah (4,2)
3. Metode Eliminasi
Metode Eliminasi adalah suatu metode mencari penyelesaian persamaan dengan cara mengeliminasi (menghilangkan) salah satu variabelnya. Menghilangkan variabel adalah dengan cara menyamakan koefisien variabel yang dipilih terlebih dahulu.
contoh :
a. 4x - 5y=-9 dan 2x + 3y=23
b. 4x - 3y=15 dan -3x + 2y=- 12
Jawab
a. Jika ingin mengeliminasi variabel x maka samakan koefisien variabel x menjadi KPK dari kedua koefisien.
Jika koefisien variabel yang dieliminasi bertanda sama (sama-sama negatif atau sama-sama negatif), maka eliminasi dengan cara mengurangi. Tetapi jika koefisien variabel yang ingin dieliminasi berbeda, maka eliminasi dengan cara menjumlah.
Metode berikut menggunakan eliminasi untuk mendapatkan nilai dari salah satu variabel. Kemudian variabel yang sudah diketahui nilainya disubstitusi ke salah satu persamaan untuk mendapatkan nilai variabel yang lain.
Selain metode-metode penyelesaian di atas, ada beberapa model sistem persamaan linear yang membutuhkan penyelesaian tambahan. Perhatikan beberapa contoh sistem persamaan berikut, tentukan himpunan penyelesaiannya.
1. Harga3 pensil dan 2 buku tulis adalah Rp5.100,00. Sedangkan harga 2 pensil dan 4buku tulis adalah Rp7.400,00. Model matematika yang tepat untuk pernyataantersebut adalah…. Jawab : Misalkan hal yang diketahui menjadi variabel yang sesuai, misalnya x dan y, a dan b, p dan q dan sebagainya. Untuk menjawab soal ini kita misalkan pensil dengan p dan buku dengan b. 3 pensil dan 2 buku tulis adalah Rp5.100,00 ⇒3p + 2b=5.100 2 pensil dan 4 buku tulis adalah Rp7.400,00 ⇒ 2p + 4b=7.400 bisa disederhanakan dengan sama-sama dibagi 2 ⇒ p + 2b=3.700
2. Jika harga2 buah baju dan 1 kaos adalah Rp.170.000,00. Sedangkan harga 1 baju dan 3 kaos adalahRp.185.000,00. Harga 3 baju dan 2 kaos adalah..... Jawab : Misalkan baju=b dan kaos=k Sistem persamaan linear : 2b + k=170.000 b + 3k=185.000
Maka harga 1 baju adalah Rp 65.000,00 dan harga 1 kaos Rp 40.000,00. Harga 3 baju dan 2 kaos adalah 3b + 2k=3(65.000) + 2 (40.000) =195.000 + 80.000 =Rp 275.000,00 3. Keliling sebuah persegi panjang sama dengan 44 cm. Jika lebarnya 6 cm lebih pendek dari panjangnya, Tentukan luas dari persegi panjang tersebut. Jawab : Rumus keliling=2 (p + l)=2p + 2l, maka 2p + 2l=44 p - l=6 ⇒ p=6 + l 2p + 2l=44 2(6 + l) + 2l=44 12 + 2l + 2l=44 4l=44 -12 4l=32 l=8 cm p=6 + l p=6 + 8=14 cm Luas=p x l =14 cm x 8 cm =112 cm²
4.Bibi menjual dua jenis kue yaitu risol dan bolu. Keranjang berdagangnya hanya dapatmemuat 40 buah kue. Harga modal risol adalah RP 1.500,00 perbuah, sedangkanharga modal bolu adalah Rp 2.000,00. Modal yang ia keluarkan adalah Rp72.000,00. Berapa pendapatan Bibi jika penjualan risol untungnya Rp 400,00 perbuah dan bolu memberikan untung Rp 500,00 perbuah? Jawab : Misalkan risol=a dan bolu=b jumlah kue=40 ⇒ a + b=40 modal kue ⇒ 1.500a + 2.000b=72.000 (sederhanakan dengan dibagi 500) ⇒ 3a + 4b=144
Jumlah risol yang dijual adalah 16 buah dan bolu 24 buah. Keuntungan yang diperoleh adalah 500a + 500b=400(16) + 500(24) =6.400 + 12.000 =Rp 18.400,00 Demikian materi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dan berberapa contoh soal serta pembahasan yang diberikan Bimbel Diah Jakarta Timur. Semoga dapat membantu untuk lebih memahami.
sedangkan Garis Lurus adalah garis yang menghubungkan dua titik. Persamaan garis lurus menunjukkan perbandingan komponen y dan komponen x yang dilalui titik yang dimaksud.
Menentukan gradien garis berdasarkan gambar
Gradien garis dapat dihitung dengan : komponen perpindahan vertikal (y) komponen perpindahan horisontal (x)
Komponen y ke atas bernilai positif, sedangkan jika ke arah bawah bernilai negatif. Komponen x ke kanan bernilai positif, sedangkan jika ke kiri bernilai negatif.
| Bangun Ruang Sisi Datar adalah bangun tiga dimensi yang pada setiap rusuknya berbentuk garis dan tidak melengkung. Bangun ruang memiliki luas permukaan dan volume atau isi.
Bangun ruang yang kita bahas dalam artikel ini adalah prisma dan limas. Prisma adalah bangun ruang yang memiliki alas dan tutup dengan bentuk dan ukuran sama dan sebangun. Sedangkan limas adalah bangun ruang yang hanya memiliki alas dan rusuk tegas berkumpul di puncak.
KUBUS
Kubus adalah bangun ruang sisi datar yang berbentuk prisma segiempat yang memiliki rusuk sama panjang. Kubus terdiri dari 6 persegi yang sama besar.
Prisma adalah bangun ruang yang sisi alas dan tutupnya merupakan bangun datar dengan bentuk dan ukuran yang sama serta sisi tegak prisma merupakan segi empat. Prisma bisa berbentuk prisma segitiga, prisma segiempat, prisma segi-lima dan lain-lain. Kubus dan balok merupakan contoh prisma segi-empat.
Limas adalah bangun ruang yang memiliki sisi alas dengan sisi tegak berbentuk segitiga. Limas bisa berbentuk limas segitiga, limas segiempat, limas segi-lima dan lain-lain. Bidang empat adalah sebutan untuk limas segitiga yang semua panjang rusuknya sama besar.
a.Panjang rusuk kubus b. Luas permukaan kubus c. Volume kubus
Jawab :
a. DF adalah diagonal ruang,
sehingga s √3=6√3
s=6 cm
b. Luas permukaan kubus
= 6 x s²
= 6 x 6²
=6 x 36
=216 cm²
c. Volume kubus
=s³
=6³
=216 cm³
2. Sebuah kubus berukuran 12 cm x 4 cm x 3 cm.
Tentukanlah :
a.Panjang diagonal ruang balok b. Luas permukaan balok c. Volume balok
Jawab :
a. Panjang diagonal ruang balok
=√(p² + l² + t² )
=√(12² + 4² + 3²)
=√(144 + 16 + 9)
=√169
=13 cm
b. Luas permukaan balok
=(2 x p x l) + ( 2 x p x t) + (2 x l x t)
=(2 x 12 x 4) + (2 x 12 x 3) + (2 x 4 x 3)
=96 + 72 + 24
=192 cm²
c. Volume balok
=p x l x t
=12 x 4 x 3
=144 cm³
3. Sebuah kubus mempunyai volume 512 cm³.
Tentukanlah :
a.Panjang rusuk kubus
b. Luas permukaan kubus
Jawab :
a. volume kubus=s³,
maka rusuk kubus,
s=∛V
s=∛512=8 cm
b. Luas permukaan kubus
=6 x s²
=6 x 8²
=384 cm²
4. Diketahui sebuah balok mempunyai luas sisi alas 120 cm², luas sisi depan 75 cm² dan luas sisi samping 40 cm². Tentukanlah volume balok serta ukuran panjang, lebar dan tinggi balok !
Jawab :
Luas sisi alas x luas sisi depan x luas sisi samping=(p x l) x (p x t) x (l x t)=p² x l² x t²=(p x l x t)²
maka Volume=√(p x l) x (p x t) x (l x t)
=√(120 x 75 x 40)
=√360.000
=600 cm³
panjang=√(p x l) x (p x t) : (l x t)
=√(120 x 75 : 40)
=√225
=15 cm
lebar= √(p x l) x (l x t) : (p x t)
=√(120 x 40 : 75)
=√64
=8 cm
tinggi= √(p x t) x (l x t) : (p x l)
=√(75 x 40 : 120)
=√25
=5 cm
5. Sebuah prisma memiliki alas segitiga siku-siku dengan ukuran sisi 5cm, 12 cm dan 13 cm dan tinggi prisma 20 cm. Tentukan luas permukaan dan volume prisma tersebut !
Jawab :
Luas permukaan
=(2 x luas alas) + ( keliling alas x tinggi prisma)
=( 2 x 5 x 12 : 2) + (5 + 12 + 13) x 20
=60 + 600
=660 cm²
Volume
= luas alas x tinggi prisma
=(5 x 12 :2 ) x 20
=600 cm³
6. Diketahui prisma trapesium seperti gambar di bawah.
Tentukan luas permukaan dan volume prisma tersebut !
Terlebih dahulu kita mencari tinggi bidang tegak segitiga yang pada gambar ditunjukkan oleh garis TP. Garis OP panjangnya adalah 1/2 dari panjang rusuk yaitu 1/2 x 16=8 cm.
Dari segitiga TOP kita cari panjang TP dengan dalil phytagoras.
TP²=TO² + OP²
=15² + 8²
=225 + 64
=289
TP =√289=17 cm
Maka luas permukaan
=Luas alas + 4 x luas segitiga
=(16 x 16) + 4 x (16 x 17 : 2)
=256 + 544
=800 cm²
b. Volume limas
=1/3 x luas alas x tinggi limas
=1/3 x 256 x 15
=1.280 cm³
8. Andi memiliki sebuah kotak berbentuk balok untuk menyimpan mainannya. Kotak tersebut berukuran 90 cm x 75 cm x 30 cm. Kotak mainan tersebut diisi mainan kardus-kardus mainan berbentuk kubus dengan panjang rusuk 15 cm. Berapa banyak kardus kubus yang dapat mengisi kotak mainan tersebut?
Jawab :
Jumlah kubus yang dapat mengisi kotak balok
=Volume balok : volume kubus
=(90 x 75 x 30 ) : (15 x 15 x 15)
=60 buah
9. Sebuah akuarium berbentuk balok berukuran panjang 1,2 m, lebar 75 cm dan tinggi 60 cm. Jika akuarium tersebut diisi air sampai 2/3 tingginya, berapa liter volume air dalam akuarium tersebut?
Jawab :
Karena liter=dm³, maka semua ukuran dirubah ke dalam satuan dm
p=1,2 m=12 dm
l =75 cm=7,5 dm
t=60 cm=6 dm
Volume air
=2/3 x volume akuarium
=2/3 x 12 x 7,5 x 6
=360 dm³
=360 liter
10. Farlan hendak membuat tenda dari kain terpal yang berbentuk limas persegi panjang. Tenda itu ukuran alasnya 3,2 m x 1,8 m dan tinggi 1,2 m. Jika tenda yang dibuat Farlan tidak menggunakan alas, maka tentukan luas kain terpal yang dibutuhkan !
Segitiga di bagian depan berukuran sama dengan segitiga bagian belakang yaitu panjang alasnya 3,2 m dan tingginya adalah ruas TQ. Panjang TQ bisa dihitung dengan dalil phytagoras dari segitiga TQO.
TQ²=TO² + QO²
=1,2² + 0,9²
=1,44 + 0,81
=2,25
TQ=√2,25=1,5 m
Segitiga di bagian kiri berukuran sama dengan segitiga bagian kanan yaitu panjang alasnya 1,8 m dan tingginya adalah ruas TP. Panjang Tp bisa dihitung dengan dalil phytagoras dari segitiga TPO.
TP²=TO² + PO²
=1,2² + 1,6²
=1,44 + 2,56
=4,00
TP=√4,00=2,0 m
Maka luas kain terpal yang dibutuhkan
=2 x luas segitiga depan + 2 x segitiga samping
=2 x (3,2 x 1,5 : 2) + 2 x (1,8 x 2,0: 2)
=4,8 + 3,6
=8,4 m²
Demikian rangkuman materi tentang bangun ruang sisi datar beserta contoh soal dan pembahasannya. Semoga dapat membantu anda untuk lebih memahami materi tersebut.
